konvergere

Konvergere er å nærme seg en grense når indeksen øker. I matematikk brukes konvergens til å beskrive at en følge, en funksjon eller en serie blir stadig nærmere en bestemt verdi. Begrepet er sentralt i analyse, i numeriske metoder og i sannsynlighet.

En følge (x_n) av tall konvergerer mot L hvis for hver ε > 0 finnes det et heltall N slik at |x_n - L| < ε for alle n ≥ N. For eksempel følgeren x_n = 1/n konvergerer mot 0. Når en følge konvergerer, snakker man ofte om grenseverdien L.

Følger av funksjoner. La f_n være en følge av funksjoner definert på et sett X, f_n: X → R. Vi sier at f_n konvergerer punktvis mot f hvis for alle x i X gjelder f_n(x) → f(x). Dersom det er slik at sup_{x∈X} |f_n(x) - f(x)| → 0, sier vi at konvergensen er uniform. Uniform konvergens har viktige konsekvenser, for eksempel ved bytting av grense og integrasjon eller derivasjon under visse forhold.

Serier og andre former. En rekke Σ a_n konvergerer hvis partielt sum s_N = Σ_{n=1}^N a_n har en grense. En geometrisk serie 1 + r + r^2 + ... konvergerer for |r| < 1 og har sum 1/(1-r). En powerserie Σ c_n (z - z0)^n konvergerer innenfor en radius R rundt z0.

Innen sannsynlighet brukes også konvergensbegreper som konvergens i sannsynlighet eller almost surely, som beskriver hvordan stokastiske følger nærmer seg en grense. Konvergens beskriver også hastighet, ofte kalt hastighet av konvergens.