grenseverdien

Grenseverdien, eller lim, er tallet en funksjon eller en følge nærmer seg når argumentet nærmer seg et bestemt punkt eller går mot uendelig. For en følge a_n er lim_{n->∞} a_n likt L hvis for hvert ε>0 finnes et N slik at |a_n - L| < ε for alle n ≥ N. For en funksjon f definert i nærheten av et punkt a er lim_{x->a} f(x) = L hvis for hvert ε>0 finnes δ>0 slik at 0<|x-a|<δ innebærer |f(x) - L|<ε. Dette inkluderer én- eller tosidige grenser: lim_{x->a^-} f(x) og lim_{x->a^+} f(x).

Grenseverdier kan være av forskjellige typer. Hvis grenseverdien eksisterer og er endelig, sies det at f har en grense ved a. Hvis grenseverdien ikke eksisterer, fordi funksjonen oppfører seg annerledes når x nærmer seg a (for eksempel oscillerer eller har ulike sidergrenser), sier man at grenseverdien ikke eksisterer. En grense kan være uendelig: lim_{x->a} f(x) = ∞ eller lim_{x->a} f(x) = -∞. Kontinuitet ved et punkt oppstår når grenseverdien er lik funksjonsverdien, dvs. lim_{x->a} f(x) = f(a).

Noen kjente grenseverdier er lim_{x->0} sin x / x = 1 og lim_{x->0} (1 + x)^{1/x} = e. Grenseverdiger følger grense­lover som lim(f+g)=lim f + lim g, lim(cf)=c lim f, og lim(f·g)=lim f · lim g, forutsatt at delene eksisterer. For å beregne grenser brukes ofte substitusjon, algebraiske omforminger eller L'Hôpital’s regel i relevante tilfeller. Grenser danner grunnlaget for videre konsepter som kontinuitet, deriverte og integraler.