grenseverdier

Grenseverdier er et grunnleggende begrep i matematikk som beskriver hvilken verdi en funksjon eller en følge nærmer seg når den har et bestemt punkt som grense, eller når variabelen går mot uendelig. Begrepet brukes om både funksjoner og følger (rekker), og handler om oppførselen i nærheten av grensepunktet snarere enn selve verdien på grensepunktet.

For en funksjon f definert i et område rundt et punkt a, sies grenseverdien til f når x nærmer seg a å være L hvis f(x) blir arbitrært nær L når x kommer nærmere a. Formelt uttrykkes dette som: For alle ε>0 finnes det δ>0 slik at 0<|x-a|<δImplikasjon|f(x)-L|<ε. På tilsvarende måte sies grenseverdien til en følge (a_n) å være L hvis a_n nærmer seg L når n går mot uendelig, dvs. for alle ε>0 finnes det N slik at n≥N innebærer |a_n-L|<ε.

Grenseverdier kan være nøyaktige. Dersom grenseverdien eksisterer, er den unik. Grenseverdien kan være et endelig tall, eller uendelig (f(x)→∞ eller f(x)→−∞). Man skiller også mellom grenseverdier fra venstre og fra høyre, samt grenseverdier i uendelig (når x→∞ eller x→−∞).

Eksempler: For f(x)=x^2 er grenseverdien når x nærmer seg 3 lik 9. En kjent følge er lim x→0 sin x / x = 1. Ikke alle grenseverdier eksisterer; for f(x)=sin(1/x) når x→0 har man ingen grenseverdi fordi funksjonen svinger mellom −1 og 1 uavhengig av hvor nær man kommer 0. Grenseverdier er sentrale i definisjonen av kontinuitet og i analyse av funksjoners oppførsel.