grenseverdi

Grenseverdi er et grunnleggende begrep i analyse som beskriver hva et uttrykk nærmer seg når variabelen nærmer seg en bestemt verdi. For en funksjon f definert i nærheten av tallet a, sier vi at grenseverdien L er lim_{x→a} f(x) = L hvis for alle ε > 0 finnes det et δ > 0 slik at 0 < |x − a| < δ impliserer |f(x) − L| < ε. Grenseverdien er uavhengig av verdien til f(a) selv, og beskriver oppførselen til funksjonen nær punktet a.

Grenseverdi kan også beskrive en sekvens. For en følge (a_n) sies det at den har grenseverdi L når n → ∞ og for alle ε > 0 finnes det N slik at n ≥ N innebærer |a_n − L| < ε. Dersom grenseverdien vokser uten noen endelig grense, kalles det at grenseverdien er uendelig (lim_{x→a} f(x) = ∞ eller lim_{x→a} f(x) = −∞).

Det finnes én- og tosidige grenseverdier, for eksempel lim_{x→a+} eller lim_{x→a-}. Hvis begge sider har en grense og disse er like, eksisterer den fulle grenseverdien. Hvis ikke, eksisterer ikke grenseverdien. Grenseverdier brukes også til å definere kontinuitet: en funksjon er kontinuerlig i a hvis lim_{x→a} f(x) = f(a).

Eksempelvis er lim_{x→0} (sin x)/x = 1, og lim_{x→0} x^2 = 0. I utvidet tallverdi kan man også si at lim_{x→0} 1/x^2 = ∞. Notasjonene lim, limsup og liminf brukes for å beskrive ulike typer grenser i mer generelle sammenhenger.