Mängdteori

Mängdteori är studiet av mängder – samlingar av objekt definierade genom medlemskap – och deras relationer. Den utgör en grundläggande byggsten i matematiken, eftersom många objekt definieras som mängder eller konstruktioner av mängder. Teorin ger ett formellt ramverk för att analysera storlek, struktur och uppbyggnad av matematiska objekt.

Centrala begrepp är element, delmängder, union, snitt och kraftmängd. För att undvika motsägelser används axiomsystem som reglerar hur nya mängder bildas och hur de förhåller sig till varandra. Den vanligaste versionen är Zermelo-Fraenkel-mängdteori med val, förkortat ZFC. Axiomen inkluderar extensionalitet, parbildning, union, kraftmängd, oändlighet, separation och ersättning, samt val-axiomet.

Historiskt utvecklades mängdteorin ur Cantors arbeten i slutet av 1800-talet och början av 1900-talet. Russell's paradox visade problem med naiv mängdteori och ledde till behovet av ett strikt axiomsystem. Zermelo föreslog 1908 ett reglerat system, som senare utökades till ZF och därefter till ZFC med val. Gödel och Cohen visade att kontinuitetsantagandet är oberoende av ZFC, vilket innebär att vissa frågor inte kan avgöras inom denna grund.

Modern forskning inom mängdteori omfattar studier av stora kardinaler, forcing och inre modeller samt deras konsekvenser för förståelsen av storlek och struktur. Det finns även alternativa grundläggningar, som konstruktiv mängdteori (CZF, IZF) och typteori, vilka används i logik och datavetenskap.

Sammanfattningsvis är mängdteori en central disciplin i matematiken som ger dess mest grundläggande byggstenar och formar hur man formaliserar oändlighet, storlek och struktur.