Motsetningsbevis

Motsetningsbevis, eller bevis ved motstrid, er en bevismetode i logikk og matematikk der man viser at en påstand P følger av antagelsen om ikke-P. Hvis ¬P fører til en selvmotsigelse eller til en logisk motsigelse, må P være sann. Metoden kalles også reduksjon til det absurde.

Prosessen innebærer ofte å anta ¬P, utlede en motsetning i forhold til grunnleggende sannheter eller axiomer, og dermed vise at ¬P ikke kan være sann. I klassisk logikk følger beviset av prinsippet om eksplosjon: en motsigelse gjør at alt følger.

Et velkjent eksempel er beviset av at sqrt(2) er irrational. Anta at sqrt(2)=p/q i laveste term. Da gir 2q^2 = p^2, hvilket viser at p er partall, og dermed q også er partall. Dette bryter antakelsen om at brøken var i laveste term, og gir en motsetning. Derfor er sqrt(2) irrationell.

Historisk har motsetningsbevis spilt en sentral rolle i gresk matematikk og senere i formell logikk. Metoden brukes bredt i matematikk og filosofi som et ikke-konstruktivt, men ofte effektivt verktøy for å etablere sannheter når direkte konstruktive bevis ikke er lett tilgjengelige.

Merk at i intuitionistisk logikk kan motsetningsbevis være ugyldig eller kreve strengere krav, fordi den ikke aksepterer at fra falskhet følger noe. Derfor forstås motsetningsbevis som et verktøy i klassisk logikk, og ikke som en universell metode.