MomentenVerteilung

Momentenverteilung bezeichnet in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik sowohl die Folge der Momente einer Zufallsvariablen als auch die Verteilung der Stichprobenmomente in wiederholten Stichproben. Momente liefern zentrale Kennzahlen einer Verteilung, etwa Lage, Streuung und Form.

Der k-te Rohmoment m_k ist E[X^k], der n-te zentrale Moment μ_n = E[(X-μ)^n] mit μ = E[X]. Die momenten- bzw. momentgenerierende Funktion M_X(t) = E[e^{tX}] besitzt Ableitungen, die an t=0 die Momente liefern: m_k = M_X^{(k)}(0). Zentralmomente liefern Varianz μ_2, Schiefe μ_3 und Kurtose μ_4.

Das Momentenproblem beschäftigt sich damit, ob aus einer gegebenen Folge von Momenten eine Wahrscheinlichkeitsverteilung existiert und ob diese eindeutig bestimmt ist. Klassische Varianten sind das Hamburger Problem (unbeschränktes Intervall), das Stieltjes-Problem (nichtnegative Werte) und das Hausdorff-Problem (endlich begrenztes Intervall). Manche Verteilungen sind eindeutig durch ihre Momente bestimmt; andere Verteilungen sind momentenindeterminant.

In der Praxis werden Momente aus Daten als Stichprobenmomente geschätzt: der Stichprobenmittelwert, die Stichprobenvarianz und höhere Momente. Die Methode der Momente ordnet Stichprobenmomenten theoretische Momente zu und wird genutzt, um Parameter zu schätzen. Momente spielen zudem eine zentrale Rolle in vielen Statistikverfahren sowie in der asymptotischen Analyse von Schätzern.

Hinweise: Der Begriff Momentenverteilung kann auch die Verteilung der Momente selbst als Zufallsvektor in der Stichprobenlehre bezeichnen. In der Praxis werden jedoch häufig die Verteilung der Zufallsvariable X und deren Momente separat betrachtet.