Stichprobenmomente

Stichprobenmomente bezeichnet man in der Statistik die Momente, die aus einer Beobachtungsstichprobe X1, …, Xn berechnet werden. Für eine ganze Zahl k ≥ 1 definiert sich der k-te Stichprobenmoment als m_k = (1/n) ∑_{i=1}^n X_i^k. Populationmomente, insbesondere die nicht zentrale Momente μ'_k = E[X^k], werden durch die Stichprobenmomente geschätzt. Unter der Annahme unabhängiger identisch verteilter Zufallsvariablen und endlicher k-ten Moment gilt E[m_k] = μ'_k.

Das erste Stichprobenmoment m_1 entspricht dem Stichprobenmittelwert x̄, das zweite m_2 = (1/n) ∑ X_i^2 ist der rohe zweite Moment. Zentralisierte Stichprobenmomente entstehen durch Abzug des Mittelwerts, etwa m'_r = (1/n) ∑ (X_i - x̄)^r. Der zentrale zweite Moment ist damit der Stichprobenvarianzanteil; der Erwartungswert von m'_2 ist (n-1)/n Var(X), während die standardmäßige Varianzschätzung s^2 = (1/(n-1)) ∑ (X_i - x̄)^2 ein erwartungstreuer Schätzer für Var(X) ist.

In der Methode der Momente werden Verteilungsparameter durch Gleichsetzen der theoretischen Momente μ'_k mit den beobachteten Stichprobenmomenten m_k geschätzt. Stichprobenmomente liefern damit einfache Kennzahlen zur Verteilung und Form der Daten, sind aber abhängig von der Existenz der entsprechenden Momente, empfindlich gegenüber Ausreißern und verbessern sich mit zunehmendem Stichprobenumfang.