Metrikräumen

Metrikräume, auch metrische Räume genannt, sind grundlegende Strukturen in der Analysis und Topologie. Ein Metrikraum besteht aus einer Menge X und einer Metrik d: X×X → [0,∞), die folgende Eigenschaften erfüllt: d(x,y) ≥ 0, d(x,y) = 0 genau dann, wenn x = y, Symmetrie d(x,y) = d(y,x) und die Dreiecksungleichung d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z). Die Metrik misst Abstände zwischen Punkten in X.

Aus einer Metrik erhält man eine Topologie: Offene Mengen werden durch offene Kugeln B_r(x) = {y in X : d(x,y) < r} definiert. Konvergenz, Stetigkeit und Reihenfolgen lassen sich über Distanzen beschreiben. Eine Folge (x_n) konvergiert gegen x, wenn d(x_n, x) → 0. Eine Folge ist Cauchy, wenn d(x_n, x_m) → 0, wenn n,m→∞. Ein Raum, in dem alle Cauchy-Folgen konvergieren, heißt vollständig.

Weitere zentrale Konzepte sind Kompaktheit, Totalbeschränktheit und Separabilität. In metrischen Räumen gilt, dass kompakte Mengen sowohl vollständig als auch total beschränkt sind und umgekehrt. Da Konvergenz- und Stetigkeitsbegriffe durch die Metrik vermittelt werden, ermöglichen Metrikräume eine präzise Behandlung von Grenzen, Integrationen und Funktionen.

Beispiele umfassen die reellen Zahlen R mit der üblichen Metrik d(x,y)=|x−y| und das n-dimensionale Euclidsystem R^n mit der Euclide-Metrik, sowie der diskrete Metrik d(x,y)=0 falls x=y, andernfalls 1. Unterräume Y ⊆ X tragen eine induzierte Metrik, und Produktmetriken ermöglichen Metrikstrukturen auf Produktmengen.

Metrikräume dienen als grundlegende Bezugsgröße in Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie und Geometrie, da sie Abstände, Grenzprozesse und Topologien formell fassbar machen.