Matrizenfaktorisierung

Eine Matrizenfaktorisierung ist die Zerlegung einer Matrix A in das Produkt zweier oder mehrerer Matrizen, so dass A ≈ W H (oder A = W H in exakten Fällen). Ziel ist oft eine kompakte, interpretierbare Darstellung, die Rechen- oder Speicheraufwand reduziert oder verbesserte Datenmodelle ermöglicht.

Zu den klassischen Faktorisierungsmethoden gehören die LU-Faktorisierung (A = L U) für quadratische, invertierbare Matrizen; die QR-Faktorisierung (A = Q R), die Stabilität bei Least-Squares-Lösungen bietet; die singuläre Zerlegung (SVD) A = U Σ V^T, die eine optimale rank-k-Approximation liefert und die Basis für weitere Anwendungen bildet. Eine wichtige Variante ist die Nichtnegative Matrixfaktorisierung (NNMF), bei der A ≈ W H mit W ≥ 0, H ≥ 0 verwendet wird, um interpretierbare Teile wie Bausteine oder Komponenten zu erzeugen.

Anwendungsfelder reichen von numerischer Lineare Algebra über Datenkompression und Dimensionalitätsreduktion bis hin zu Recommender-Systemen, Bild- und Sprachverarbeitung sowie Mustererkennung. In der Praxis wird oft eine Annäherung A ≈ W H mit festem k gewählt, wobei W m×k und H k×n sind, um die wichtigsten Strukturen in A zu erfassen.

Faktorisierungen sind nicht eindeutig: Skalierung oder Vorzeichen können zwischen Faktoren verschoben werden; bei NNMF zusätzliche Nicht-Negativitätsbedingungen erzwingen bestimmte Modelle. Die Bestimmung des Faktorisierungsgrades k, die Konvergenz von Iterationsalgorithmen und die numerische Stabilität stellen praktische Herausforderungen dar. Die SVD liefert eine mathematisch optimale rank-k-Approximation gemäß dem Eckart-Young-Theorem.

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