Matrixfreie

Matrixfreie Methoden bezeichnen Verfahren in der numerischen Linearen Algebra, bei denen die zugrunde liegende Matrix A weder explizit aufgebaut noch vollständig gespeichert wird. Stattdessen wird die Wirkung von A auf Vektoren durch eine bereitgestellte Operation beschrieben, die y = A x ergibt, ohne A als eigenständiges Array zu führen. Dieses Konzept ist besonders vorteilhaft bei sehr großen oder spärlich besetzten Matrizen, die aus Diskretisierungen von Differentialgleichungen, Graph- oder Netzwerkmodellen entstehen.

Typischerweise liefern Matrixfreie Algorithmen eine Kovektion der Matrixwirkung über wiederholte A x-Berechnungen. Zu den am häufigsten verwendeten Klassen gehören Krylov-Unterraum-Verfahren wie Conjugate Gradient, GMRES oder BiCGStab, die ohne explicit form von A arbeiten, solange A x effizient berechnet werden kann. Auch eigenwertbezogene Verfahren wie Arnoldi- oder Lanczos-Methoden lassen sich matrixfrei implementieren. In vielen Anwendungen kommt zusätzlich eine Preconditioning-Schicht zum Einsatz, um die Konvergenz zu beschleunigen, wobei auch das Preconditioner-Design matrixfrei bleiben kann. Ein häufiger Spezialfall ist das Jacobian-free Newton-Krylov-Verfahren (JFNK) für nichtlineare Probleme, bei dem die Jacobian-Matrix nicht explizit gebildet wird.

Anwendungen finden Matrixfreie Methoden in der Simulation großer PDE-Systeme, Struktur- und Finite-Element-Analysen, Digital- oder Netzwerkanalysen sowie in datengetriebenen Modellen, wo A schwierig zu speichern ist. Vorteile sind geringerer Speicherbedarf, Skalierbarkeit und bessere Ausnutzung von Struktur oder Aufbauprozessen, Nachteile sind potenziell langsamere Konvergenz und die Abhängigkeit von geeigneten Preconditionern sowie der Notwendigkeit, A x effizient zu berechnen.

Siehe auch: Krylov-Unterräume, matrix-free-Preconditioning, JFNK, iterative Solver.