Matrixelemente

Matrixelemente sind die Einträge einer Matrix, die die Wirkung einer linearen Abbildung in einem festgelegten Vektorraum beschreibt. Gegeben eine Matrix A mit Zeilen- und Spaltenindex i, j ist A_ij der Matrixeintrag an der Stelle (i, j). Die Elemente hängen von der gewählten Basis ab: verschiedene Basen liefern verschiedene Zahlen, die denselben Operator darstellen. Die Matrix A lässt sich durch A_ij = e_i^T A e_j ausdrücken, wobei e_i und e_j Orthonormalbasisvektoren sind.

In der Physik werden Matrixelemente häufig als Übergangs- oder Erwartungswerte verwendet: M_fi = ⟨f|Ô|i⟩ ist der Matrixelement des Operators Ô zwischen dem Anfangszustand |i⟩ und dem Endzustand ⟨f|. Solche Elemente bestimmen Übergangswahrscheinlichkeiten: P_fi ∝ |M_fi|^2. Sie gelten auch für Messgrößen mit Eigenbasis und werden durch die Resolution der Identität berechnet: ⟨f|Ô|i⟩ = ∑_n ⟨f|Ô|n⟩⟨n|i⟩.

Eigenschaften: Für hermitesche Operatoren gilt ⟨f|Ô|i⟩ = ⟨i|Ô|f⟩*, und allgemein ⟨f|Ô|i⟩* = ⟨i|Ô†|f⟩. Matrixelemente lassen sich in verschiedene Basen transformieren, wodurch Symmetrie- und Auswahlregeln sichtbar werden. In der Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie und Chemie spielen Techniken wie der Wigner-Eckart-Satz eine zentrale Rolle, um Abhängigkeiten von Raum- und inneren Freiheitsgraden zu trennen.

Anwendungen umfassen die Berechnung von Übergängen, Spektroskopie, Streuamplituden in Quantenprozessen, Störungstheorie und die Vereinfachung komplexer Operatoren durch geeignete Basenwahl.