Matricepotenser

Matricepotenser, eller potenser av en kvadratisk matris, är resultaten av att multiplicera en matris med sig själv flera gånger. För en kvadratisk matris A betecknas den k-te potensen som A^k, där A multipliceras med sig själv k gånger. Genom definitionen är A^0 identitetsmatrisen I. Om A är inverterbar kan även negativa potenser definieras, där A^{-k} = (A^{-1})^k.

Grundläggande egenskaper är att A^m A^n = A^{m+n} för alla hela tal m och n. Generellt är matrisers multiplikation inte kommutativ, så AB är inte nödvändigtvis lika med BA. Följaktligen är (AB)^n inte lika med A^n B^n i allmänhet, om AB inte liknar BA. Om A har en uppsättning egna värden och egenvektorer kan A^k beskrivas i termer av dessa: om Av = λv, så är A^k v = λ^k v, vilket visar hur spektrumet påverkas av potenser.

Diagonalisation är ett viktigt verktyg: om A är diag­onaliserbar så att A = P D P^{-1} där D är diagona­lisk med egenvärdena λ_i, så är A^k = P D^k P^{-1}. Då D^k är diag(λ_1^k, λ_2^k, …). I fall där A inte är diagonaliserbar används ofta Jordan-formen: A^k = P J^k P^{-1}.

Beräkningar av A^k kan göras effektivt med exponentiering genom kvadrering, vilket skiljer antalet multiplikationer och ger vanligtvis tidkomplexitet nära O(n^3 log k) vid naiv matrismultiplikation. Specialfall som diagonala eller triangulära matriser förenklar potensexponentiering betydligt.

Användningar av matricepotenser inkluderar studier av linjära dynamiska system x_t = A x_{t-1}, Markovkedjor där övergångsmatrisen upphöjs för att få framtida tillstånd, lösning av vissa system av differentialekvationer samt tillämpningar inom datorgrafik och algoritmer som kräver kraftiga beräkningar av upprepade matrisprodukter. Exempelvis för en Jordan‑block kan A^k ges av specifika formler som förstärker visarna av potenser.