egenvärdena

Egenvärdena är skalärer λ för vilka det finns en icke-noll vektor v such that Av = λv, där A är en kvadratisk matris eller en linjär avbildning i ett ändligt-dimensionellt vektorrum. Egenvektorerna v tillhörande ett givet egenvärde λ uppgör ett egetrum (äigensrummet) som består av alla v som uppfyller Av = λv.

I praktiken fås egenvärdena som rötter till karaktäristiska polynomet det(A − λI) = 0. För Reella matriser kan egenvärdena vara verkliga eller komplexa, och komplexa egenvärden kommer alltid i konjugatpar när A är reell. Antalet egenvärden räknat med algebraiska multipliciteten över feldet komplexa är n (mattens dimension). Den geometriska multipliciteten är dimensionen av eigenspace(n) och kan vara mindre än den algebraiska multipliciteten. Om antalet linjärt oberoende egenvektorer motsvarande olika egenvärden är n, då är A diagonalisbart.

Beräkning av egenvärden och egenvektorer görs vanligtvis genom att lösa det(A − λI) = 0. För stora matriser används numeriska metoder som kraftmetoden, QR-algoritmen eller Jacobi-metoden. Egenvärden och eigenvektorer har olika tillämpningar: diagonalisering av matriser för att lösa differentialekvationer, vibrations- och stabilitetsanalys, samt dataanalys som PCA som bygger på egenvärden av kovariansmatris.

Exempel: för A = [[2, 1], [0, 3]] är egenvärdena λ1 = 2 med v1 = [1, 0]^T och λ2 = 3 med v2 = [1, 1]^T.

Historiskt introducerades begreppet eigenvärde i 1800-talet inom linjär algebra, där termen är av tyskt ursprung.