Egenvärden

Egenvärden, eller eigenvärden, av en kvadratisk matris A är skalärer λ sådana att det finns en icke-noll vektor v med Av = λv. V är egenvektor till λ. Egenvärden erhålls som rötter till karakteristiska polynomet det(A − λI) = 0, där I är identitetsmatrisen.

För en reell matris kan eigenvärden vara reella eller komplexa; om A är reell och symmetrisk är eigenvärdena reella och det går att diagonalise A med ettortogonaltbas av egenvektorer, vilket innebär att A = QΛQ^{-1} (eller Q^T när Q är orthogonal).

Egenskaper: Varje λ har algebraisk multiplicitet (hur många gånger λ förekommer som rot) och geometrisk multiplicitet (dimensionen av rummet av v som uppfyller Av = λv). En matris är diagonaliserbar om summan av geometriska multiplicitet över distinkta eigenvärden når dimensionen n.

Beräkning och numerik: Man löser det(A − λI) = 0 för att få eigenvärdena. För stora matriser används numeriska metoder som QR-algoritmen eller kraftmetoden; kraftmetoden ger oftast den dominerande eigenvärdet.

Användningar: Egenvärden används i stabilitetsanalys av differentialekvationer, i Markov-kedjor, i principalkomponentanalys (PCA) samt i vibrationsteori och olika tekniska tillämpningar. Algoritmiska tillämpningar inkluderar PageRank och andra metoder som bygger på vektorernas egna skalärer och riktningar i data eller system.