eigenvärdena

Egenvärdena är scalare λ som uppfyller Av = λv för någon icke-noll v, där A är en kvadratisk matris och v kallas egenvektor. Egenvärdena ger information om hur en linjär avbildning verkar längs vissa riktningar: längs egenvektorerna lämnas riktningen oförändrad medan längden multiplikeras med λ.

Det karakteristiska sambandet är det polynomiella ekvationen det(A − λI) = 0, där I är identitetsmatrisen. Lösningarna till denna ekvation är eigenvärdena. Detta polynom kallas det karakteristiska polynomet. Varje eigenvärde λ har en algebraisk multiplicitetslikhet som är antalet gånger λ uppträder som rot. Den geometriska multipliciteten är dimensionen av eigenspacet associerat med λ och är alltid mindre eller lika med den algebraiska.

Egenvärdena kan vara reala eller komplexa; för en real matris uppträder komplexa egenvärden i konjugatpar. Om antalet linjärt oberoende eigenvektorer för alla eigenvärden är lika med matrisens storlek, är A diagonalisierbar och det finns en bas av eigenvektorer. I andra fall kallas matrisen defekt.

Beräkning och tillämpningar: små matriser kan lösas genom att hitta rötter till det karakteristiska polynomet och lösa (A − λI)v = 0. För större matriser används numeriska metoder som QR-algoritmen eller kraftmetoden. Egenvärdena har användning i diagonalisation, lösning av differentialekvationer, stabilitetsanalys och dataanalys som PCA.