Logiktheorie

Logiktheorie ist die Disziplin, die sich mit den Grundlagen der Logik befasst. Sie untersucht formale Sprachen, ihre Syntax, Semantik sowie Beweis- und Modellsysteme, um gültige Argumente und wahre Aussagen zu charakterisieren. Die Entwicklung reicht von antiken Überlegungen zu Syllogismen über Frege, Russell und Whitehead bis hin zu Hilbert, Gödel und Turing, die zentrale Ergebnisse wie Vollständigkeit, Konsistenz und Unentscheidbarkeit erarbeitet haben.

Die Logiktheorie sammelt verschiedene Zweige. Die Aussagenlogik (propositional logic) befasst sich mit Wahrheitswerten zusammengesetzter Aussagen. Die Prädikatenlogik erweitert dies auf Objekte und Quantoren. Modale Logik führt Operatoren für Notwendigkeit und Möglichkeit ein. Es gibt zudem intuitionistische Logik, Nichtklassische Logiken und Typentheorien, die sich durch unterschiedliche Auffassungen von Beweis und Konstruktion auszeichnen.

Methodisch wird zwischen Beweistheorie und Modelltheorie unterschieden. Die Beweistheorie beschäftigt sich mit axiomatischen Systemen, Beweisen und deren Eigenschaften wie Korrektheit und Kürze. Die Modelltheorie untersucht Interpretationen der formalen Sprache in Strukturen und schwierige Konzepte wie Erfüllbarkeit und Äquivalenz von Formeln.

In der Praxis finden logische Theorien Anwendung in Mathematik, Philosophie und Informatik, beispielsweise in der formalen Verifikation von Programmen und der Formalisierung mathematischer Beweise. Zentrale Begriffe der Logiktheorie sind Konsistenz, Vollständigkeit, Entscheidbarkeit und der Zusammenhang zwischen Syntax und Semantik.