Lipschitzkonstanten

Lipschitzkonstanten, oft als Lipschitz-Konstanten bezeichnet, allgemein als L oder eine ähnliche Größe, sind Kennzahlen, die die maximale zulässige Änderungsrate einer Funktion in Bezug auf die Eingabe festlegen. Sei f eine Abbildung von einem metrischen Raum X in einen anderen metrischen Raum Y. Dann sagt man, es existiert eine Lipschitz-Konstante L ≥ 0, wenn für alle x, y in X gilt: dist_Y(f(x), f(y)) ≤ L · dist_X(x, y). In diesem Fall ist f Lipschitz-stetig, und L heißt Lipschitz-Konstante von f.

Die kleinste solche Konstante wird als minimaler Lipschitz-Wert oder einfach Lipschitz-Konstante bezeichnet. Sie ist nicht eindeutig; es gilt L ≤ L′ für jede gültige Konstante L′. Der kleinste Wert ist also der Infimum der zulässigen Konstanten. Lipschitz-Konstanten liefern eine beobachtbare obere Schranke für die Änderung von f in Abhängigkeit von der Eingabe.

Global gilt die Bedingung über den gesamten Definitionsbereich. Man unterscheidet außerdem zwischen globaler Lipschitz-Stetigkeit (Gültigkeit über ganz X) und lokaler Lipschitz-Stetigkeit (für jeden Punkt existiert eine Umgebung mit einer entsprechenden Konstante). Lokale Loyalität bedeutet nicht notwendigerweise globale, aber oft genügt eine lokale Bedingung in analytischen Beweisen.

Beispiele: Die lineare Funktion f(x) = a x + b hat eine Lipschitz-Konstante L = |a|. Die Funktion f(x) = |x| ist 1-Lipschitz auf ganz ℝ. Die Quadratwurzel f(x) = √x ist auf [0, ∞) nicht global Lipschitz, aber auf jedes Intervall [a, ∞) mit a > 0 ist sie Lipschitz.

Eine häufig verwendete hinreichende Bedingung lautet: Falls f differenzierbar ist und der Operatoren-Norm der Ableitung ||Df(x)|| ≤ L für alle x in einem konvexen Gebiet gilt, dann ist f global Lipschitz mit Konstante L. Lipschitzkonstanten spielen eine zentrale Rolle in Analysis, Numerik und der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen.