Lebesgueintegreerbaarheid

Lebesgueintegreerbaarheid verwijst naar de eigenschap van een functie om Lebesgue-integreerbaar te zijn op een maatruimte (X, Σ, μ). Een meetbare functie f: X → R is Lebesgue-integreerbaar als ∫_X |f| dμ < ∞. Het verzamelde ruimte van alle Lebesgue-integreerbare functies wordt meestal aangeduid als L^1(X, μ).

Definitie en integraal: als f Lebesgue-integreerbaar is, bestaat de Lebesgue-integraal ∫_X f dμ en deze is gelijk aan ∫_X f^+ dμ − ∫_X f^- dμ, waarbij f^+(x) = max{f(x), 0} en f^-(x) = max{-f(x), 0}. De niet-negatieve delen satisfyen ∫ f^+, ∫ f^- < ∞ en ∫ |f| = ∫ f^+ + ∫ f^−. Als ∫ |f| dμ = ∞, bestaat ∫ f dμ niet in Lebesgue-sense.

Voorbeelden: op een maatruimte met eindige maat μ(X) is elke functie met ∫ |f| dμ < ∞ Lebesgue-integreerbaar. Voorbeelden: f(x) = 1/(1+x^2) is Lebesgue-integreerbaar op ℝ, met ∫ |f| dx = π. Daarentegen is f(x) = 1/x op (0,1] niet Lebesgue-integreerbaar, aangezien ∫_0^1 1/x dx divergeert. De indicatorfunctie χ_A van een eindig-meetgebied A is Lebesgue-integreerbaar, met ∫ χ_A dμ = μ(A).

Eigenschappen en context: Lebesgue-integreerbaarheid maakt van L^1(X, μ) een Banach-ruimte met norm ∥f∥_1 = ∫ |f| dμ. Dit ondersteunt belangrijkste stellingen zoals de dominante convergentie, en de stellingen van Fubini en Tonelli, en vormt een fundamentele bouwsteen in analyse en waarschijnlijkheidsleer.