Lagrangevormfuncties

Lagrangevormfuncties, ook wel Lagrange-vormfuncties genoemd, zijn een klasse polynomiële vormfuncties die veelvuldig worden gebruikt in interpolatie en de eindige-elementenmethode (FEM). Ze zijn gekoppeld aan een verzameling knopen x_0, x_1, ..., x_n en zijn zodanig opgebouwd dat elke functie één knoop heeft waarbij de functie gelijk is aan 1 en op alle andere knopen gelijk aan 0.

In het eendimensionale geval met knopen x_i voldoet de i-de Lagrange-vormfunctie aan L_i(x) = ∏_{j≠i} (x - x_j)/(x_i - x_j). Daardoor geldt L_i(x_j) = δ_{ij}. Een interpolation van een functie f wordt dan f(x) ≈ Σ_{i=0}^n f(x_i) L_i(x). Verder geldt Σ_i L_i(x) = 1 en elk L_i(x) is een polynoom van graad n. Deze eigenschappen maken Lagrange-vormfuncties tot ideale nodale basisfuncties voor interpolatie.

In twee- en drie dimensies worden Lagrange-vormfuncties vaak gedefinieerd op een referentie-element en vervolgens uitgebreid via tensorproducten (bij vierkante of kubische elementen) of via barycentrische coördinaten (bij driehoeken en tetrahedra). Voor een driehoek met barycentrische coördinaten λ_i geldt bijvoorbeeld L_i = λ_i op het referentie-element; voor hogere orde-elementen worden meer knopen gekozen en bijbehorende L_i gevormd.

Eigenschappen en toepassingen: Lagrange-vormfuncties vormen een basis van het ruimte van polynomen van graad ≤ n en dienen als nodale vormfuncties in FEM. Ze zorgen voor een partition of unity en nodale interpolatie van velden. Voordelen zijn eenvoudige interpretatie en implementatie; nadelen kunnen ill-conditie en gevoeligheid voor de nodale verdeling zijn bij hoge orde, waarbij geschikte knoopplaatsing belangrijk kan zijn.