Kurvenbeschreibung

Kurvenbeschreibung bezeichnet in der Geometrie die Darstellung einer Kurve durch Gleichungen oder Funktionen. Typische Darstellungsformen sind explizite, implizite und parametrische Beschreibungen.

Explizit wird eine Kurve oft als Funktionsgraph gegeben, zum Beispiel y = f(x) oder z = g(x) in der Ebene. Vorteilhaft ist die Lesbarkeit und einfache Zeichnung. Nachteil ist, dass nicht jede Kurve als eindeutiger Funktionsgraph y = f(x) beschrieben werden kann; es kann zu Mehrdeutigkeiten oder Definitionsproblemen kommen.

Implizit lautet die Beschreibung in Form einer Gleichung F(x, y) = 0. Damit lassen sich Kurven ohne Auflösung in Funktionen darstellen, etwa Kreise oder Algebraische Kurven wie x^2 + y^2 - r^2 = 0. Implizite Beschreibungen sind besonders nützlich, wenn die Kurve nicht als Funktionsgraph über eine Variable dargestellt werden kann.

Parametrisch beschrieben werden Kurven durch eine Funktion r(t) = (x(t), y(t)) in der Ebene oder r(t) = (x(t), y(t), z(t)) im Raum. Vorteile sind die Möglichkeit, jede Kurve parametrisch darzustellen und eine einfache Reparametrisierung, zum Beispiel nach der Bogenlänge. Wesentliche Größen sind Geschwindigkeit v = |r'(t)| und der Tangentenvektor T = r'(t)/|r'(t)|.

Wichtige Kenngrößen sind zudem die Krümmung κ, die die Biegung der Kurve misst, sowie bei Raumkurven zusätzlich die Torsion τ. Für eine Ebene, explizit y = f(x), gilt κ = |y''| / (1 + y'^2)^{3/2}. Parametrisch lautet κ = |x' y'' - y' x''| / (x'^2 + y'^2)^{3/2}; im Raum κ = |r' × r''| / |r'|^3, und τ = ((r' × r'') · r''') / |r' × r''|^2.

Anwendungen finden sich in Geometrie, Physik, Technik, Computergrafik, Robotik und Kartografie. Die drei Darstellungsformen lassen sich ineinander überführen; Bogenlänge bietet eine nivellierte, translations- und rotationsinvariante Maßgröße.