Konvolusjonsteori

Konvolusjonsteori er et område innen matematikk og anvendt analyse som studerer konvolusjon, en binær operasjon som kombinerer to funksjoner til en tredje. I kontinuerlig tid defineres konvolusjonen av f og g som (f*g)(t) = ∫_{-∞}^{∞} f(τ) g(t−τ) dτ under passende integrabilitet. I diskret tid er definisjonen (f*g)[n] = ∑_k f[k] g[n−k].

I praksis beskriver konvolusjon hvordan et lineært tidsinvarent system svarer på et inngangssignal: hvis g er systemets impulsrespons, er utgangen y=f*g. Konvolusjon oppstår også som summen av uavhengige tilfeldige variabler i sannsynlighetsteori og som løsningen av enkelte integrale og differensialligninger.

Egenskaper: konvolusjonen er kommutativ og associativ, og f*δ = f hvor δ er enhetsfunksjonen. Ved å bruke kernene som Gauss-like, fører konvolusjon til glatting av funksjoner.

Transformasjonsregel: Fourier-konvolusjonsteoremet gir at F{f*g} = F{f}·F{g}. Dette gjør konvolusjon til et tallprodukt i frekvensrommet. For tidsbegrensede eller causal systemer brukes også Laplace-transformen. I funksjonsrom som L^p er konvolusjonen definert under visse betingelser; Youngs bidrag gir normgrenser: ||f*g||_r ≤ ||f||_p ||g||_q.

Anvendelser: i signalbehandling og bildebehandling brukes konvolusjoner til å modellere filtre og skarphet, støyfjerning og blur. I sannsynlighet gir konvolusjon mellom fordelinger en ny fordeling for summen av variable. I beregning av PDE-er og integraloperatorer brukes konvolusjon til å uttrykke løsninger som ofte oppnås via transformmetoder.