Laplacetransformen

The Laplace-transformen, ofta betecknad L{f}(s) eller ℒ{f}(s), är en integraltransform som mappar en funktion f(t) definierad för t ≥ 0 till en funktion F(s) i ett komplext plan. Den används i stor utsträckning för att analysera och lösa linjära tidsinvarianta system och differentialekvationer samt i signalbehandling och kontrollteori.

Den vanligaste formen är den obundna (en-sidig) Laplace-transformen: F(s) = ∫_0^∞ e^{-st} f(t) dt. Den tvåsidiga transformen är F(s) = ∫_{-∞}^{∞} e^{-st} f(t) dt. Regionen där transformen konvergerar, kallad konvergensområdet (ROC), är vanligtvis ett halvtplan eller en vertikal remsa i det komplexa s-planet.

Inversen av transformen ges av f(t) = (1/2πi) ∫_{γ - i∞}^{γ + i∞} e^{st} F(s) ds, där γ väljs inom konvergensområdet. Under lämpliga villkor finns en unik återgivning av f(t) från F(s).

Villkoren för existens kräver att f är styckagenomgående på [0, ∞) och av exponentiell ordning, dvs det finns M och a så att |f(t)| ≤ M e^{a t} för stora t. Då existerar den obundna transformen för Re(s) > a.

Nyckelfördelar och egenskaper inkluderar linearitet, tidsförskjutning L{f(t - a)u(t - a)} = e^{-as} F(s), frekvensförskjutning L{e^{at} f(t)} = F(s - a), samt differentiation i tid som motsvarar multiplikation eller subtraktion av s i F(s). Slutvärde- och initialvärdessatsen ger information om f(0) och gränsvärden under vissa stabilitetsförhållanden.

Användningar innefattar lösning av linjära differentialekvationer, analys av elektriska kretsar och kontrollsystem, signalbehandling samt viss sannolikhets- och variatsberäkningar. Laplace-transformen är nära relaterad till Fourier-transformen (s = iω) och Z-transformen som dess diskreta motsvarighet.