Ztransformen

Z-transformen är ett verktyg inom digital signalbehandling och analys av diskreta tidsserier. Den omvandlar en signal x[n] till en komplex funktion X(z) enligt X(z) = sum_{n=-∞}^{∞} x[n] z^{-n}. Det finns två vanliga versioner: den bilaterala Z-transformen, som summerar över alla n, och den obetalade (unilaterala) Z-transformen för signaler som är nula före n = 0, X(z) = sum_{n=0}^{∞} x[n] z^{-n}.

Regionen av konvergens (ROC) är den del av z-planet där serien konvergerar. För den bilaterala transformen kan ROC vara en annulus mellan två radier, medan för ett orättvist tidsförlopp (t.ex. kausal eller anti-kausal) ROC ofta är |z| större än en gräns eller mindre än en gräns. Enheten på z-planet har särskild betydelse; när ROC inkluderar enheten |z| = 1 kan transformen kopplas till den diskreta tids-d Fourier-transformen via z = e^{jω}.

Egenskaper och struktur: Z-transformen bevarar linjäritet och tidsförskjutning, och konvolution i tidsdomänen motsvarar multiplikation i z-domänen. Om signalen x[n] är lösning av en linjär konstant-kretsdifferensekvation har X(z) vanligtvis poler och nollställen; pole-positioner och ROC bestämmer systemets beteende och stabilitet. Invers Z-transform, som återför x[n] från X(z), kan beräknas genom kraftserier, partiell bruten nedbrytning eller residu-tekniker (eller via tabeller).

Användningar inkluderar analys och design av digitala filter, lösning av skillnadsekvationer, samt bedömning av stabilitet och tidsförlopp i diskreta system. Jämfört med andra transforms, som Laplace eller DTFT, ger Z-transformen ett kraftfullt sätt att hantera samtida tidsbaserade system med betingningar som roterar i komplext plan.