skillnadsekvationer

Skillnadsekvationer är ekvationer som beskriver hur termerna i en diskret följd förändras från en index till nästa. De används för att modellera processer som utvecklas i tydligt avgränsade tidssteg, till exempel dagar eller veckor, där varje term beror på tidigare termer. En skillnadsekvation anger oftast hur a_{n+1} eller a_{n+k} beror på tidigare värden av följden.

En linjär skillnadsekvation med konstantkoefficienter av ordningen k har vanligtvis formen a_{n+k} + c_{k-1} a_{n+k-1} + ... + c_0 a_n = g(n), där g(n) är kända funktioner av n. Om g(n) = 0 kallas den homogena, annars icke-homogen. Den klassiska lösningen för homogena fallet bygger på karaktäristiska ekvationen r^k + c_{k-1} r^{k-1} + ... + c_0 = 0. Varje reell eller komplex rot r bidrar med en term som multipliceras med r^n, och vid upprepade rötter tillkommer n-rötter-liknande termer. För icke-homogena ekvationer används metoder som obekanta koefficienter eller variationsmetoden, eller man söker en särskild lösning.

Exempel är Fibonacci-följen, där a_n = a_{n-1} + a_{n-2} med startvärdena a_0 och a_1. Skillnadsekvationer används inom ekonomi för tidsseriemodeller, inom befolkningsteori för populationsmodeller, i datavetenskap för algoritmer och i signalbehandling där diskreta signaler bearbetas. En viktig skillnad mot differentialekvationer är att tid och förändring sker i diskreta steg, vilket leder till olika lösningar och verktyg, som genererande funktioner och z-transformer i vissa sammanhang.