Konvolusjon

Konvolusjon er en matematisk operasjon som kombinerer to funksjoner til en tredje funksjon. For kontinuerlige funksjoner f og g på den reelle talllinjen er konvolusjonen definert som (f * g)(t) = ∫_{-∞}^{∞} f(τ) g(t − τ) dτ. Operasjonen er kommutativ og lineær, slik at også (g * f)(t) = ∫ g(τ) f(t − τ) dτ og a f + b h, alt multiplisert med g, følger konvolusjonsregelen.

For diskrete signaler er konvolusjonen definert som (f * g)[n] = Σ_{k=-∞}^{∞} f[k] g[n − k]. Ofte har signaler begrenset støtte, slik at summasjonen blir endelig.

Egenskaper: Konvolusjonen er lineær og har egenskapene kommutativitet, assosiativitet og distributivitet over addisjon. Den har også identitet med Dirac-deltaet: f * δ = f. Ved å velge en passende kjerne kan konvolusjon fungere som glatting, skarphet eller kantdeteksjon i ulike applikasjoner.

Frekvensdomenet: Konvolusjonsteoremet sier at Fourier-transformasjonen av en konvolusjon er produktet av transformasjonene: F{f * g} = F{f} · F{g}. Dette muliggjør beregning av konvolusjonen ved hjelp av FFT, og gir en viktig måte å analysere et system som en impulssvaret.

Anvendelser: I signalbehandling og bildebehandling er konvolusjon sentral. Et lineært tidsinvariant system har utgang y = x * h, der h er impulssvaret. I bilder brukes konvolusjonskjerner som Gaussian for smoothing eller Sobel-kjerner for kantdeteksjon.

Numerisk beregning: For diskrete signaler har konvolusjonen lengde len(x) + len(h) − 1. Ved zero-padding og bruk av FFT kan beregningen gjøres mer effektivt, spesielt for lange kjeder.