konvolusjonen

Konvolusjonen er en matematisk operasjon som kombinerer to funksjoner til en ny funksjon, og som beskriver hvordan formen til en funksjon blir påvirket av en annen. Den brukes ofte i signal- og bildebehandling, sannsynlighet og løsning av enkelte differensialligninger.

Kontinuerlig konvolusjon er definert som (f * g)(t) = ∫_{-∞}^{∞} f(τ) g(t − τ) dτ, der konvensjonen tilsier at man kan skrive (f * g)(t) = ∫ f(t − τ) g(τ) dτ. Konvolusjonen er kommutativ: f * g = g * f. Diskret konvolusjon for sekvenser er (f ∗ g)[n] = ∑_{k=−∞}^{∞} f[k] g[n − k], og for endelige sekvenser blir summen over de relevante indeksene.

Egenskaper inkluderer linearitet, komplusion (f ∗ g = g ∗ f), og associativitet: (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h). Enhetsfunksjonen i kontinuerlig eller diskret form er delta-funksjonen δ, slik at f ∗ δ = f. Mange av egenskapene følger også av skifteekvivalensen: tidsforskyvning i en funksjon tilsvarer tilsvarende forsinkelse i konvolusjonen.

Anvendelser omfatter beskrivelse av lineære tidsinvariante (LTI) systemer, hvor konvolusjonen gir utgangen for en gitt input. I bildebehandling brukes konvolusjon til filtrering, glatting og kantdeteksjon gjennom ulike kernelene. Innen sannsynlighet er konvolusjonen av uavhengige variabler fordelingen til summen av variablene.

Beregningsmessig er konvolusjon sentral i Convolution Theorem: Fouriertransformen av en konvolusjon er produktet av Fouriertransformene, noe som muliggjør effektiv beregning via FFT i praksis.