KonvexitätConcavität

Konvexität und Konkavität sind grundlegende Begriffe der Geometrie und Analysis. Sie beschreiben die Form von Mengen oder den Verlauf von Funktionen und spielen eine zentrale Rolle in Bereichen wie Geometrie, Optimierung und Ökonomie. Im Deutschen werden Konvexität und Konkavität häufig verwendet; der Gegensatz wird als Konkavität bezeichnet, wobei der Begriff für Mengen seltener gebraucht wird.

Konvexität von Mengen: Eine Menge C ist konvex, wenn für alle x und y in C und alle Skalare t mit 0 ≤ t ≤ 1 der Punkt t x + (1−t) y ebenfalls in C liegt. Praktische Beispiele sind Intervalle, Kreise und Quadratflächen. Nicht-konvexe Mengen verhalten sich anders: Es gibt Paare von Punkten in C, deren Verbindung außerhalb von C liegt.

Konkavität und Konvexität von Funktionen: Bei einer Funktion f gilt sie als konvex, wenn für alle x, y im Definitionsbereich und alle t mit 0 ≤ t ≤ 1 die Ungleichung f(t x + (1−t) y) ≤ t f(x) + (1−t) f(y) erfüllt ist. Graphisch bedeutet dies, dass die Sekante zwischen zwei Graphpunkten den Graphen nicht übertrifft; der Graph liegt unter der Verbindungslinie. Eine Funktion ist konkav, wenn die Ungleichung in der Gegenrichtung gilt.

Zweitwertige Kriterien: Für zweimal stetig differenzierbare Funktionen genügt f''(x) ≥ 0 für Konvexität und f''(x) ≤ 0 für Konkavität. Allgemein führt die Untersuchung der Epigraphen bzw. Hypographen zu den entsprechenden Eigenschaften.

Anwendungen: Konvexität ist zentral in der konvexen Optimierung, wo lokale Optima meist globale Optima sind. Wichtige Instrumente sind Jensen-Ungleichung, Konvexhülle und Unterstützungslinien. In der Geometrie helfen konvexe Mengen beim Studium von Form, Volumen und Stabilität von Systemen.