Komponenttifunktioiden

Komponenttifunktiot ovat käsite, jota käytetään vektorifunktioiden yhteydessä. Jos f on funktio D → R^n, missä D on alijoukko R^m, voidaan f kirjoittaa muodossa f(x) = (f1(x), ..., fn(x)). Tällöin fi: D → R ovat komponenttifunktioita. Komponenttifunktiot saadaan projektioilla πi: R^n → R, joissa πi(y1, ..., yn) = yi, ja fi = πi ∘ f.

Komponenttifunktioiden avulla voidaan kuvata vektorifunktio kokonaisuudessaan erillisinä osa- funktioina. Ne ovat keskeisiä tarkasteltaessa vektorifunktion ominaisuuksia kuten jatkuvuutta ja differentioituvuutta. Esimerkiksi f on jatkuva, jos ja vain if jokainen fi on jatkuva. Samoin f on differentiabile at x, jos jokainen fi on differentioitu kyseisellä pisteellä; tällöin Jacobian-matriisi Jf(x) koostuu osittaisderivaattojen ∂fi/∂xj arvoista.

Esimerkki: f: R → R^3 määritellään f(x) = (x^2, sin x, e^x). Tällöin komponenttifunktiot ovat f1(x) = x^2, f2(x) = sin x ja f3(x) = e^x.

Käyttökohteet ovat esimerkiksi parametrisoitujen käyrien ja kartoitusten yhteydessä: r(t) = (x(t), y(t), z(t)) on vektorifunktio, jonka komponenttifunktiot ovat x(t), y(t), z(t). Yleisesti komponenttifunktioiden tarkastelu helpottaa analyysia ja derivoimista, sekä antaa käsitteellisesti käyttökelpoisen tavan kuvata koordinaattikohtaisia arvoja vektorifunktioissa.