differentioituvuutta

Differentioituvuus eli differentiabiliteetti on matemaattinen käsite, joka kuvaa funktion kykyä olla derivoituva. Yleisesti real-valued f: R → R on differentioituva pisteessä a, jos raja lim h→0 (f(a+h) − f(a))/h on olemassa ja sillä on lopullinen arvo. Tämän rajan arvo on derivaatta f′(a). Jos funktio on differentioituva jokaisessa pisteessä jollakin välillä I, sanotaan sen olevan differioituva kyseisellä alueella.

Monimutkaisemmissa tapauksissa f: R^n → R^m on differentioituva pisteessä a, jos on olemassa lineaarinen sovellus L: R^n → R^m, jolla f(a+h) = f(a) + L(h) + o(||h||) kun h → 0. Tällöin L on derivaatta ja sen kuvaa Jacobian-matriisi; kun m = 1, L(h) = ∇f(a) · h ja gradientti ∇f(a) muodostaa sen lineaarisen osan.

Riittäviä ehtoja differioitumiselle ovat muun muassa osittaisderivaattojen olemassaolo ympäristössä ja niiden jatkuvuus pisteessä a. Erityisesti jos kaikki osittaisderivaatat ovat olemassa ympäristössä ja jatkuvat pisteessä a, funktio on differioituva siellä.

Differentiabiliteetti liittyy läheisesti käsitekokoihin kuten C^k-luokat, joissa funktiot ovat k kertaa derivoituva ja näiden derivaattojen jatkuvuus on varmistettu. Differentiabiliteetti on vahvempi kuin pelkkä jatkuvuus, ja se on keskeinen käsite paikallisessa lineaarisessa lähestymisessä, optimoinnissa ja tulkinnassa useammassa muuttujassa.

Esimerkkeinä f(x) = x^2 on differioituva koko R:ssa ja sen derivaatta on f′(x) = 2x, kun taas f(x) = |x| ei ole differioituva pisteessä 0.