Jacobianmatriisi

Jacobianmatriisi, yleisesti Jacobin matriisina tunnettu, on diffrensiaalilaskennan työkalu, jolla kuvataan monetulksun muutoksia syötteen ja tuloksen välillä. Olkoon F: R^n → R^m funktio, jonka syöte on x = (x1,...,xn) ja jonka tulokset ovat F(x) = (F1(x),...,Fm(x)). Jacobianmatriisi J_F(x) on m×n -matriisi, jonka i, j -elementti on ∂Fi/∂xj. Jos m = n, Jacobianmatriisin determinantti det J_F(x) tunnetaan Jacobian-determinanttina, ja se mittaa paikallista tilan muunnoksen suuruutta sekä mahdollistaa esimerkiksi alueen pienellä alueella tapahtuvan tilavaikutuksen kuvaamisen.

Sovelluksissa tarkoitetaan usein, että Jacobian kuvaa funktiota lineaarisesti sen kohdealueen ympäri tietyssä pisteessä: J_F(x) antaa funktion F lähettämän pienimuutoksen Δx:lle arvon ΔF ≈ J_F(x) Δx. Ketjusäännön mukaan Jacobian muunnoksen koostuminen on J_{f∘g}(x) = J_f(g(x)) J_g(x). Inversiovakion kohdalla, jos det J_F(x0) ≠ 0, funktio on paikallisesti invertiiliä ja leviämiseksi voidaan soveltaa paikallisen käänteismuunnoksen tulkintaa.

Jacobinan määritystä käytetään muun muassa muuttujien vaihtamisessa integraaleissa, ratkaisujen etsimisessä monimuuttujan järjestelmissä (Newtonin menetelmä useille muuttujille) sekä dynaamisten järjestelmien ja optimiserien analyysissa. Esimerkkinä F(x,y) = (x^2 − y, sin x + y^2) saa Jacobianmatriisiksi J_F(x,y) = [[2x, −1], [cos x, 2y]].

Historiallisesti nimeen liittyy saksalainen matemaatikko Carl Gustav Jacob Jacobi; Jacobianmatriisi on saanut nimensä hänen työnsä kautta.