Differentioituvuus

Differentioituvuus on matemaattinen käsite, joka kuvaa funktion kykyä lähestyä itseään lineaarisella lähikuvauksella pisteessä. Olkoon f, määritelty alueella D ⊂ R^n, ja x0 ∈ D. f on differentiatiivinen pisteessä x0, jos on lineaarinen kartta L: R^n → R siten, että f(x0 + h) = f(x0) + L(h) + o(||h||) kun h → 0. Tällöin L on lähikuvaus ja sen avulla voidaan määritellä gradientti ∇f(x0) siten, että L(h) = ∇f(x0) · h. Jos tällainen L (eli gradientti) exists, f on differentiatiivinen pisteessä x0; jos sellainen pisteiden joukko kattaa koko alueen, sanotaan, että f on differentiatiivinen siellä.

Yhteydet ja erottuvuudet: Differentiabiliteetti tarkoittaa, että funktio ei vain ole jatkuva pisteessä, vaan sillä on hyvin määritelty tangenttilähikuva. Esimerkiksi polynomifunktiot ovat differentiatiivisia kaikkialla, kun taas f(x) = |x| ei ole differentiatiivinen pisteessä x = 0.

Esimerkkejä: f(x) = x^2 on differentiatiivinen kaikissa pisteissä R, ja f'(x) = 2x. f(x) = |x| on differentiatiivinen kaikilla x ≠ 0; ei ole differentiatiivinen x = 0. Monidimensioissa f: R^n → R otetaan käytäntöyn gradientti ∇f(x0) ja condition f(x0 + h) = f(x0) + ∇f(x0)·h + o(||h||).

Koulutustasoja ja muita käsitteitä: f on usein merkitty C^1, C^k tai C^∞, jolloin sen derivaatat ovat jatkuvasti olemassa tai jopa suoraan analyyttisiä. Analyyttisyys tarkoittaa, että f voidaan localisesti laajentaa konvergoivaksi voimien sarjaksi. Differentiabiliteetti on keskeinen käsite optimoinnissa, geometriassa ja fysikaalisissa malleissa, joissa tangenttien ja gradienten kautta hahmotetaan muutosten suunnat ja suuruudet.