Komponenttifunktiot

Komponenttifunktiot ovat vektorilukuarvon tai moniarvoisen funktion F: X → R^m komponentteja, jotka muodostavat F:n koordinaattien funktioista koostuvan kokonaisuuden. Kun F(x) = (f1(x), ..., fm(x)) on määritelty, kukin fi: X → R on F:n i:s komponenttifunktio. Näin sanotusti F:n komponentit erittelevät sen todelliseen arvoon kuuluvat osat.

Ominaisuudet ja suhteet:

- Jatkuvuus ja differentioituvuus: F on jatkuva kohdassa a, jos jokainen komponenttifunktio fi on jatkuva kohdassa a. Vastaavasti F on differentioituva kohassa a, jos jokainen fi on differentioituva kohassa a.

- Derivaatio ja Jacobian: F:n differentioituessa at a, Jacobianmatri JF(a) = [∂fi/∂xj](a) kuvaa fi:n osakomponenttien herkkyyksiä. Jos m = 1, F on R^n → R:n kaltaisena vektorillisen funktiona, ja Jacobian koostuu gradientista ∇F.

- Rinnakkaiset käsitteet: fi on mitallinen koordinaattifunktio, ja erityistapauksessa fi = πi, jolloin F on koordinaattiprojektoiva funktio. Silloinkin voidaan tarkastella FI:n ja scalarin funktioiden yhdistelmää käyttämällä komponentteja.

Esimerkkejä:

- Olkoon F: R^2 → R^3 määritelty F(x,y) = (x^2 + y, sin x, e^y). Tämän F:n komponenttifunktiot ovat f1(x,y) = x^2 + y, f2(x,y) = sin x ja f3(x,y) = e^y.

- Scalar-case: Jos g: R^m → R on skaalari, ja F: X → R^m, niin koosteen g ∘ F voidaan derivoida käyttämällä F:n Jacobiania ja funktion g:n gradientia tai Jacobiania.

Käyttöalueet:

Komponenttifunktioita käytetään laajasti monissa monimutkaisissa kartoissa sekä analyysissä, optimoinnissa, differentiaaligeometrian ja dynamisten järjestelmien mallinnuksessa, missä yhdistetään useamman koordinaatin käyttäytyminen yhdeksi kokonaisuudeksi.