differentiabile

Differenziabile è un termine usato in analisi matematica per descrivere una funzione che ammette una buona approssimazione lineare vicino a un punto. In una variabile reale f è differenziabile in a se esiste una funzione lineare L tale che f(a+h) = f(a) + L(h) + o(|h|) quando h → 0. L’effetto di questa relazione è che la funzione è qualitativamente prossima al suo grafico a una retta tangente, e si definisce la derivata f′(a) come la tendenza angolare della funzione in quel punto. La differenziabilità implica continuità: una funzione differenziabile è continua in quel punto.

In più variabili, f: U ⊆ R^n → R^m è differenziabile in a ∈ U se esiste una mappa lineare L: R^n → R^m tale che f(a+h) = f(a) + L(h) + o(|h|) per h → 0. L’equivalente espressione è l’esistenza del differenziale totale o derivata di Frechet Df(a). Se f è differenziabile, il Jacobiano Df(a) rappresenta la matrice delle derivate parziali e il gradiente è la forma trasposta di questa mappa nel caso f: R^n → R. Le derivate parziali da sole non garantiscono la differenziabilità.

Classi e proprietà: una funzione è C^1 se tutte le derivate parziali esistono e sono continue; in tal caso è differenziabile in ogni punto del dominio e Df è continua. La differenziabilità è una condizione forte che permette la stima lineare del cambiamento di f e l’applicazione del teorema di Taylor. Molte funzioni comuni, come polinomi e funzioni trigonometrie, sono differenziabili ovunque, mentre funzioni come |x| in una variabile o |x|+|y| in due variabili possono non esserlo in certi punti.