trasposta
La trasposta di una matrice è la matrice ottenuta scambiando righe e colonne. Se A è una matrice m×n, la sua trasposta si indica A^T ed è una matrice n×m con (A^T)_{ij} = a_{ji}.
La trasposta è una trasformazione lineare che soddisfa diverse proprietà fondamentali: (A^T)^T = A; (A + B)^T = A^T
Per una matrice quadrata A, det(A^T) = det(A). Se A è invertibile, (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T. Il rango è
Una matrice è simmetrica se A^T = A, mentre è antisimmetrica se A^T = -A.
Interpretazione geometrica: la trasposta scambia righe e colonne; la matrice X^T X è sempre semidefinita positiva
Esempio: sia A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]. Allora A^T = [[1, 4], [2, 5], [3, 6]].
Applicazioni: algebra lineare, risoluzione di sistemi lineari, cambi di base, calcolo di prodotti scalari e della