Kodierungsraum

Der Kodierungsraum bezeichnet in der Informationstheorie den Satz aller Codewörter, die durch einen Kodierer aus Nachrichten erzeugt werden. Er bildet den codierten Teil eines Kommunikationssystems, der dazu dient, Nachrichten gegenüber Übertragungsfehlern robuster zu machen. Der Kodierungsraum wird durch das Kodierverfahren und die zugrundeliegende Nachrichtenmenge bestimmt.

Formales Modell: Gegeben eine Nachrichtenmenge M und eine Kodierungsfunktion E, E: M -> C, entsteht der Kodierungsraum C als Bild von E. In vielen Modellen arbeiten Codierungen über einem endlichen Feld F_q, wobei der Code C eine Teilmenge von F_q^n ist und n die Codewortlänge angibt. Bei linearen Codes ist C eine Untermenge des Vektorraums F_q^n, deren Dimension k den Informationsumfang angibt. Die Kodierung erfolgt häufig durch eine Generatormatrix G ∈ F_q^{k×n}, sodass c = uG aus einer Nachricht u ∈ F_q^k entsteht. Die Codegröße, Verhältnisse und Strukturen führen zur Code-Rate R = k/n und zur Mindestabstandskennzahl d.

Eigenschaften und Zweck: Der Kodierungsraum enthält die Codewörter, die durch Redundanz Jitterungen im Kanal besser erkennen oder korrigieren lassen. Der Mindestabstand d des Codes bestimmt die Fehlererkennungs- und -korrekturmöglichkeiten; größere d erlauben die Korrektur von mehr Fehlern. Die Decodierung sucht meist das nächstliegende Codewort im Kodierungsraum.

Beispiele und Anwendungen: Bekannte Beispiele sind binäre Hamming-Codes (z. B. (7,4,3)) oder Reed-Solomon-Codes über F_q. Kodierungsräume spielen eine zentrale Rolle in der drahtlosen Kommunikation, Speichernetzen und fehlerresistenten Übertragungssystemen. In der Kryptographie können codierte Strukturen ebenfalls eine Rolle bei bestimmten Verschlüsselungs- oder Authentifizierungsverfahren spielen.