Keuzefunctie

Keuzefunctie is een wiskundig concept dat het mogelijk maakt om uit elke niet-lege verzameling van een familie van verzamelingen één element te kiezen. Gegeven een indexverzameling I en voor elk i in I een niet-lege verzameling A_i, is een keuzefunctie f een functie die toewijst aan elk i een element f(i) uit A_i. Met andere woorden, f(i) ∈ A_i voor alle i. Een keuzefunctie voor de familie {A_i} noemt men een representantiekiezer van die familie.

Het bestaan van keuzefuncties voor alle mogelijke families wordt door het axiom van keuze (AC) gesteld. Het axiom stelt dat voor elke verzameling niet-lege verzamelingen er altijd een keuzefunctie bestaat. In tal van wiskundige disciplines is AC fundamenteel omdat het existence van objecten garandeert die niet constructief te bepalen zijn.

AC heeft belangrijke consequenties en equivalenties. Zo zijn het welordeningstheorema en het Zorn-lemma equivalente formuleringen van AC in de standaard verzamelingsleer. In sommige modeltheoretische kernen van de theorie ZF (zonder AC) bestaan families van niet-lege verzamelingen waarvoor geen keuzefunctie bestaat. Daardoor is de werking van keuzefuncties vaak niet constructief en hangt af van aanvullende aannames.

Er zijn varianten en gerelateerde principes, zoals afhankelijk kiezen (dependent choice) en lokale of globale keuze, die in verschillende wiskundige contexten volstaan. Keuzefuncties worden veel gebruikt bij constructies zoals het kiezen van representanten, selectieprincipes en in testen van eigenschappen die uniform over indexen moeten gelden.