Irreduceerbaar

Irreduceerbaar is een term uit de algebra die wordt gebruikt om een object aan te duiden dat niet kan worden opgesplitst in een product of combinatie van eenvoudigere objecten binnen een gegeven algebraïsche structuur. De term wordt doorgaans gebruikt in contexten als ringen, polynomen en modules, en hangt af van de structuur waarin men werkt.

In de ringtheorie wordt een niet-nulte en niet-eenheids-element a van een ring R irreduceerbaar genoemd als elke factorisatie a = bc alleen mogelijk is wanneer één van de factoren een eenheid is. Met andere woorden blijft a onoplosbaar als product van niet-eenheden. In integrale domeinen levert irreducibiliteit vaak belangrijk inzicht op in de factorisatiestructuur van elementen.

Bij polynoomringen is een veelgebruikte formulering: een polynoom f in F[x], met deg f > 0, is irreduceerbaar over F als f niet kan worden geschreven als een product van twee polynomen van lagere positieve graad. Bijvoorbeeld, x^2 + 1 is irreducibel in Q[x], terwijl het in C[x] wel kan worden ontbonden als (x − i)(x + i).

Relationeel geldt: in een integrale ring is prime implies irreducible, maar irreducible hoeft niet per se prime te zijn in algemene ringen. In een unieke-factorisatie-domein (UFD) komen irreduceerbare elementen overeen met priem elementen.

Contextueel kan irreduceerbaar ook voorkomen in algebraïsche geometrie, waar een variëteit als geheel irreduceerbaar is wanneer deze niet kan worden geschreven als de unie van twee kleinere gesloten deelverzamelingen.

---