Inversenbildung

Inversenbildung bezeichnet in der linearen Algebra das Vorgehen zur Bestimmung der Inverse einer quadratischen Matrix A, sofern diese invertierbar ist. Die Inverse A^{-1} erfüllt A A^{-1} = A^{-1} A = I, wobei I die Einheitsmatrix ist.

Voraussetzungen: Die Matrix muss quadratisch und nicht singulär sein; d. h. det(A) ≠ 0. Ist det(A) = 0, existiert keine Inverse.

Methoden: Gauss-Jordan-Verfahren: Eine Erweiterung A | I und Zeilenoperationen, bis links I steht; rechts erhält man A^{-1}. Adjunkte-Methode: A^{-1} = (1/det A) adj(A), wobei adj(A) die transponierte Kofaktor-Matrix ist. LU-Zerlegung: A = LU; A^{-1} lässt sich durch Lösung der Gleichungen L y_i = e_i und U x_i = y_i für die Standardbasisvektoren berechnen. Numerische Methoden: Für große oder spärliche Matrizen kommen iterative Verfahren oder die Lösung einzelner Gleichungssysteme statt einer expliziten Inversen zum Einsatz.

Eigenschaften: Die Inverse existiert eindeutig, genau dann, wenn det(A) ≠ 0. Für skalare c ≠ 0 gilt (cA)^{-1} = (1/c) A^{-1}. Es gilt auch (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}. Der exakte Inversenwert kann numerisch empfindlich sein; oft wird die explizite Inverse vermieden und stattdessen A x = b gelöst.

Anwendungen: Lösung linearer Gleichungssysteme, Berechnung von Transformationsmatrizen in der Computergrafik, Kontrolle, Signalverarbeitung und Theorie der Matrixfunktionen. In der Praxis dominiert der Ansatz, Gleichungssysteme direkt zu lösen statt eine explizite Inverse zu berechnen.

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