Intégrables

Intégrables est un terme employé en mathématiques pour qualifier des objets qui possèdent une intégrale ou qui peuvent être résolus par intégration. Selon le contexte, il peut désigner des fonctions qui admettent une intégrale définie ou des systèmes dynamiques qui se solutionnent par quadratures.

Dans l’analyse, on distingue principalement l’intégrabilité au sens de Riemann et celle au sens de Lebesgue. Une fonction f définie sur [a,b] est dite intégrable selon Riemann si elle est bornée et que son ensemble de discontinuités a une mesure nulle; les fonctions continues sur [a,b] sont Riemann-intégrables et les fonctions bornées par morceaux le sont aussi. L’intégrale au sens de Lebesgue est plus générale: une fonction mesurable est Lebesgue-intégrable si l’intégrale de sa valeur absolue est finie. Les fonctions non négatives admettent toujours une intégrale définie (qui peut être infinie).

Les propriétés habituelles de l’intégrale incluent la linéarité, le changement d’échelle et les théorèmes de convergence (monotone et dominée). L’intégration sert au calcul d’aires, à l’analyse de probabilités et à l’étude de signaux; elle est aussi la base des séries de Fourier, des transformées et de nombreuses méthodes numériques.

En dynamique, le concept d’intégrabilité s’applique aux systèmes. Un système hamiltonien est dit intégrable (ou Liouville-intégrable) s’il existe suffisamment d’intégrales premières en involution pour résoudre le système par quadratures; cela conduit à des variables action et angle et à une description du mouvement.

Historique: les notions d’intégration de Riemann et de Lebesgue constituent les fondements de l’analyse; l’idée d’intégrabilité des systèmes dérive du travail de Liouville et des développements ultérieurs en mécanique et en géométrie.