intégrable

Intégrable est un adjectif utilisé en mathématiques pour qualifier une entité qui peut être soumise à une opération d’intégration dans un sens donné. Selon le cadre choisi, il peut désigner une fonction qui possède une primitive ou, plus largement, un objet dont l’intégrale est définissable.

Fonctions et intégration

Dans l’analyse réelle, on distingue notamment l’intégrabilité selon Riemann et selon Lebesgue. Une fonction f définie sur un intervalle [a, b] est Riemann intégrable si elle est bornée et si l’ensemble de ses discontinuités a une mesure nulle (critère de Cauchy–Lebesgue). À titre d’exemple, la fonction caractéristique des rationnels (Dirichlet) n’est pas intégrable au sens de Riemann sur aucun intervalle non trivial, car elle est discontinue partout. En revanche, une fonction mesurable peut être Lebesgue-intégrable sur un espace mesurable si l’intégrale de sa valeur absolue est finie, ce qui permet d’en étudier les propriétés via la théorie de la mesure. Les intégrales impropres élargissent ces notions lorsque l’intervalle ou la fonction peut être non borné tout en restant intégrables au sens approprié.

Systèmes intégables

Dans les systèmes dynamiques et la mécanique, un système est qualifié d’intégrable lorsque l’on peut exprimer sa dynamique par des quadratures. Plus précisément, un système Liouville-intégrable possède un ensemble maximal d’intégrales premières en involution égales au nombre de degrés de liberté, ce qui conduit à une résolution complète des équations du mouvement par intégration successive. Exemples classiques: l’oscillateur harmonique et certaines orbites gravitationnelles.

Voir aussi

Intégrale, intégrabilité faible, systèmes intégrables.