Interpolatiefout

Interpolatiefout is het verschil tussen de ware waarde f(x) van een functie en de waarde van een interpolerende functie p(x) bij hetzelfde punt x. Bij interpolatie wordt p zo gekozen dat hij door een set knooppunten x_i de waarden f(x_i) reproduceert. Het begrip is essentieel in numerieke wiskunde, analyse en data-analyse.

Voor polynomiale interpolatie door n+1 knooppunten x_0, ..., x_n geldt dat f(x) - p_n(x) = f^{(n+1)}(ξ) / (n+1)! ∏_{i=0}^n (x - x_i) voor een zekere ξ tussen min en max van de knooppunten.

Factoren die de fout beïnvloeden zijn de gladheid van f, de orde n van de interpolant en de verdeling van de knooppunten. Bij equidistante knooppunten kan de fout bij hogere gradaties aanzienlijk toenemen voor functies met snelle veranderingen aan de randen (Runge-phenomeen).

Om de fout te beheersen worden soms kubische splines of andere lokale interpolatiemethoden gebruikt, waardoor de fout lokaal blijft in plaats van overal dezelfde grote te worden. Het foutgedrag hangt af van de methode: bij polynoominterpolatie is de fout afhankelijk van f^{(n+1)} en van ∏(x-x_i); bij spline-interpolatie is de fout gebonden aan de maximale waarde van hogere afgeleiden en de afstand h tussen knooppunten.

Praktische adviezen: gebruik niet te hoge orde; kies knooppunten die de fout minimaliseren, zoals Chebyshev-nodes; overweeg spline-interpolatie of adaptieve knooppunten; evalueer de interpolatiefout op relevante punten en controleer stabiliteit.