Inproducten

Inproducten, in het Nederlands vaak innerlijke producten genoemd, zijn een soort werking op vectorruimten die lengte en hoek tussen vectoren definiëren. Ze worden gebruikt om metingen als afstand en projecties te formuleren en spelen een centrale rol in lineaire algebra en analyse, vooral in reële en complexe ruimtes en in Hilbertruimten.

Een inproduct op een vectorruimte V over een veld F (meestal R of C) is een kaart < , >: V × V → F die voldoet aan drie kern-eigenschappen. Ten eerste positief-definitief: <v, v> ≥ 0 voor alle v in V, met gelijkheid precies wanneer v = 0. Ten tweede sesquilineair en conjugaat-symmetrisch: in het geval van complexe ruimtes is <av + bw, z> = a< v, z> + b< w, z> en <v, αw> = ᾱ< v, w> (lineair in het eerste argument,-conjugaat-lineair in het tweede); daarnaast geldt <v,w> = <w,v>̄. In reële ruimtes vereenvoudigen de eigenschappen zich tot bilineariteit en symmetrie.

Uit een inproduct volgt een norm, ||v|| = sqrt(<v, v>). Deze norm induces een metriek d(u, v) = ||u − v||. Belangrijke ongelijkheden zijn onder meer de Cauchy-Schwarz-ongelijkheid: |<u, v>| ≤ ||u|| · ||v||, en de driehoek ongelijkheid.

Voorbeelden: de standaard inproduct op R^n is <x, y> = ∑ x_i y_i (de Euclidische dot-product). In C^n is <x, y> = ∑ x_i conj(y_i). In L^2-ruimtes geldt <f, g> = ∫ f(x) conj(g(x)) dx. Een verzameling met <e_i, e_j> = δ_ij heet een orthonormaal systeem; Gram–Schmidt maakt zo’n basis. Incomplete of volledige inproductruimten leveren respectievelijk geen of wel Hilbertruimten op.