Homeomorfía

Homeomorfía, en topología, es una función biyectiva continua cuyas inversa también es continua, que sirve para describir la equivalencia de espacios topológicos bajo deformaciones sin cortes ni pegados. Cuando dos espacios X e Y están homeomorfos, se dice que son homeomorfía‑equivalentes. Esta relación forma una relación de equivalencia, dividiendo la categoría de espacios topológicos en clases de equivalencia llamadas tipos topológicos.

La definición formal requiere que la función f:X→Y sea inyectiva y suprayente, y que f y su inversa f⁻¹ sean continuas con respecto a las topologías de X e Y. Un criterio práctico para verificar la continuidad de f⁻¹ es la caracterización de la compacidad: si X es compacto, Y = f(X) es compacto, y f⁻¹ es continua. De forma análoga, la preservación de la conexión y la separabilidad es inherente a las homeomorfías.

Ejemplos comunes incluyen la circunferencia unitária S¹ y el círculo real sobre la recta, el espacio plano normal y el hipérboloide de una hoja están, salvo pequeñas diferencias gráficas, homeomorfos. La superficie de una esfera unitaria en ℝ³ es homeomorf a la esfera de cualquier radio. Por otro lado, el plano y la esfera con un punto removido no son homeomorfos porque la segunda no es conexa tras la eliminación de un punto.

Las homeomorfías son la base para las nociones de invariantes topológicos, como la dimensión topológica, el número de componentes conexas y las clases de homotopía. En física teórica, la teoría de la relatividad y los modelos de cosmología emplean espacios casi euclídeos que son homeomorfos a modelos ideales. En gráficos computacionales y modelado, la conservación de la homeomorfía garantiza que los modelos de mallas mantenengan la topología subyacente durante transformaciones.