Hilberäume
Hilberäume sind eine zentrale Struktur der Funktionalanalysis. Formal betrachtet handelt es sich um einen Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen, der mit einem inneren Produkt ⟨x, y⟩ ausgestattet ist. Aus dem inneren Produkt folgt eine Norm ||x|| = sqrt(⟨x, x⟩) und damit eine von dieser Norm induzierte Metrik. Ein Hilberaum ist zusätzlich vollständig, das heißt, jede Cauchy-Folge konvergiert in dem Raum. So vereinen Hilberäume algebraische und topologische Eigenschaften in einer harmonischen Einheit.
Typische Beispiele umfassen den gewöhnlichen euklidischen Raum ℝ^n oder ℂ^n mit dem Standardinnenprodukt, das Folgen- oder
Zu den zentralen Eigenschaften gehören Orthogonalität und Projektionen: Jedes Element lässt sich in orthogonale Komponenten zu
Hilberäume spielen eine zentrale Rolle in der Mathematik und in der Physik, insbesondere in der Quantenmechanik,