HestonModell

Das Heston-Modell ist ein stochastisches Volatilitätsmodell zur Bewertung von Optionen. Es wurde von Steven L. Heston eingeführt und zählt zu den am häufigsten verwendeten Modellen in der Finanzmathematik. Im Modell wird der Preis des Basiswerts S_t zusammen mit einer stochastisch variierenden Varianz v_t beschrieben, sodass die Volatilität nicht konstant, sondern zufällig entwickelt.

Die stochastische Dynamik wird durch zwei Gleichungen beschrieben: dS_t = μ S_t dt + sqrt(v_t) S_t dW^S_t und dv_t = κ (θ − v_t) dt + σ sqrt(v_t) dW^v_t, wobei dW^S_t dW^v_t = ρ dt gilt. κ ist die Geschwindigkeit der Rückführung der Varianz auf den Langzeitwert θ; θ ist die langfristige Varianz; σ ist die Volatilität der Varianz (vol of vol). Die initiale Varianz ist v_0, und ρ misst die Korrelation zwischen dem Basiswert und der Varianz.

Das Modell kann die Volatilitäts-Smile und -Skew besser erfassen als das Black-Scholes-Modell, da die Varianz selbst stochastisch ist. Für europäische Optionen liefert das Heston-Modell eine semi-geschlossene Preisformel, basierend auf der charakteristischen Funktion des log-Preises und einer numerischen Integration. Allgemeine Payoffs erfordern numerische Verfahren wie Fourier-Methoden oder Finite-Difference-Methoden.

Wichtige Eigenschaften und Einschränkungen: Die Positivität der Varianz wird durch die Feller-Bedingung 2 κ θ ≥ σ^2 gewährleistet; bei ungünstigen Parametern kann v_t dennoch in der Praxis problematisch werden. Die Kalibrierung erfolgt meist durch Preisabgleich von Marktoptionen und ist rechnerisch anspruchsvoll und sensitiv gegenüber Parameterabschätzungen.

Anwendungen finden sich im Pricing, Risikomanagement und Hedging von Derivaten, insbesondere dort, wo eine realistische Reproduktion von Smiles und Skews erforderlich ist.