HermiteFunktionen

Die Hermite-Funktionen sind eine Folge von Funktionen auf dem reellen Zahlensystem, die in der Quantenmechanik und der Fourier-Analyse eine zentrale Rolle spielen. Sie werden häufig durch phi_n definiert als phi_n(x) = (2^n n! sqrt(pi))^{-1/2} H_n(x) e^{-x^2/2}, wobei H_n die Hermite-Polynome (Physik-Definition) sind. Eine gängige Normalisierung ergibt phi_0(x) = pi^{-1/4} e^{-x^2/2}. Es existieren auch andere Normalisierungen, doch diese Form ist verbreitet.

Eigenschaften und zentrale Verwendungen: Die Hermite-Funktionen bilden eine Orthonormalbasis von L^2(R) und ermöglichen jede quadratintegrierbare Funktion f als f(x) = ∑_n c_n phi_n(x) mit den Koeffizienten c_n = ∫ f(x) phi_n(x) dx; dabei gilt Parsevalsatz, ∥f∥^2 = ∑_n |c_n|^2. Sie sind Eigenfunktionen des Hamilton-Operators des harmonischen Oszillators, H = -d^2/dx^2 + x^2, mit H phi_n = (2n+1) phi_n. Zudem sind sie Eigenfunktionen der Fourier-Transformation: F[phi_n](k) = (-i)^n phi_n(k). Daraus folgt ihre Nützlichkeit in der Zeit-Frequenz-Analyse.

Ladder-Operatoren und Differentialgleichungen: Mit den Ladder-Operatoren a = (d/dx + x)/√2 und a† = (-d/dx + x)/√2 erfüllen phi_n den Rekursionszustand a phi_n = √n phi_{n-1} und a† phi_n = √(n+1) phi_{n+1}. Die Funktionen erfüllen zudem die Differentialgleichung phi_n''(x) = [x^2 - (2n+1)] phi_n(x).

Varianten und Anwendungen: In mehrdimensionalen Räumen erhält man durch Tensorprodukte Hermite-Funktionen, phi_{n}(x) = ∏_j phi_{n_j}(x_j), als Basis von L^2(R^d). Anwendungen finden sich in der Quantenmechanik, Signalverarbeitung, Zeit-Frequenz-Analyse, Optik und der Untersuchung von Gaussian-Beams bzw. Wigner-Funktionen.