Parsevalsatz

Parsevalsatz, auch Parsevalsche Identität genannt, ist ein Satz der Fourier-Analyse, der die Energie einer Zeit- oder Ortsfunktion mit der Energie ihrer Frequenzkomponenten verbindet. Für eine 2π-periodische Funktion f ∈ L²(-π, π) mit Fourierentwicklung f(x) = ∑_{n=-∞}^{∞} c_n e^{inx}, wobei die Koeffizienten c_n = (1/2π) ∫_{-π}^{π} f(x) e^{-inx} dx sind, gilt das Parseval-Gesetz: (1/2π) ∫_{-π}^{π} |f(x)|^2 dx = ∑_{n=-∞}^{∞} |c_n|^2. Diese Gleichung drückt aus, dass die Energie des Signals gleich der Summe der Quadrate seiner Frequenzanteile ist. Die Formel gilt auch in äquivalenten Normalisierungen, z. B. ∫_{-π}^{π} |f|² dx = 2π ∑ |c_n|².

Für nichtperiodische Funktionen f ∈ L²(ℝ) mit der Fouriertransformierten F(ω) = ∫ f(x) e^{-iωx} dx gilt das verwandte Plancherel-Identität: ∫_{-∞}^{∞} |f(x)|² dx = (1/2π) ∫_{-∞}^{∞} |F(ω)|² dω. Hier ist Parsevalsatz im weiteren Sinn die Identität über L²-Funktionen und die Erhaltung der Energie beim Übergang zwischen Zeit- und Frequenzraum.

Historisch ist der Satz nach dem französischen Mathematiker Marc-Antoine Parseval benannt; er wurde zunächst für trigonometrische Reihen formuliert und später als Teil des größeren Rahmens der Fourier- und L²-Theorie verstanden.