LFunktionen

LFunktionen (L-Funktionen) sind komplexe analytische Funktionen, die arithmetischen Objekten zugeordnet sind. Sie werden oft durch eine Dirichletreihe L(s) = ∑_{n≥1} a(n) n^{-s} definiert, die für Re(s) > σ0 konvergiert, und durch eine Euler-Produkte L(s) = ∏_{p} (1 - α_p p^{-s})^{-1} beschrieben, die arithmetische Daten widerspiegeln. Üblicherweise besitzen sie eine analytische Fortsetzung bis in das gesamte Komplexe (oder in einen großen Bereich) und erfüllen eine Funktionengleichung, die s mit 1 - s verbindet, einschließlich Gamma-Faktoren und eines Conductors N.

Typische Beispiele sind die Riemannsche Zeta-Funktion ζ(s), definiert durch ∑ 1/n^s bzw. durch das Produkt ∏ (1 - p^{-s})^{-1}; Dirichlet-L-Funktionen L(s, χ) zu Dirichlet-Zeichen; Dedekind-Zeta-Funktionen von Zahlkörpern; L-Funktionen von modularen Formen und allgemein automorphe L-Funktionen.

Wichtige Eigenschaften: die Euler-Produkte kodieren arithmetische Informationen, Nullstellen im kritischen Streifen stehen in Zusammenhang mit der Verteilung der Primzahlen; charakteristische Werte besitzen arithmetische Bedeutung. Die Funktionengleichung ist zentral für die Symmetrie der L-Funktion; der analytische Conducter und Gamma-Faktoren beschreiben das archimedische Verhalten.

Anwendungen und Vermutungen: L-Funktionen stehen im Zentrum vieler Bereiche der Zahlentheorie, einschließlich Primzahlsatz, Klassenzahlen und dem Verhalten automorpher Darstellungen. Die Allgemeine Vermutung der Riem-Bedingung (GRH) postuliert, dass alle nicht-trivialen Nullstellen auf der kritischen Geraden liegen. Das Langlands-Programm formuliert eine umfassende Zuordnung zwischen Galois-Darstellungen und automorphen L-Funktionen, was die Konstruktion und Eigenschaften von L-Funktionen leitet.