Klassenzahlen

Klassenzahl, im Plural Klassenzahlen, ist ein Begriff der Zahlentheorie, der die Größe einer Klassegruppe misst, deren Elemente Objekte wie Ideale oder binäre quadratische Formen darstellen und deren Äquivalenzrelation eine natürliche Partition ergibt. Im Deutschen wird damit oft die class number bezeichnet. Die Klassenzahl gibt an, wie viele Äquivalenzklassen es gibt, und liefert Informationen über die Struktur der zugrunde liegenden Objektegruppe.

In der algebraischen Zahlentheorie bezeichnet man die Klassenzahl einer Zahlkörper K mit der Ring der ganzen Zahlen O_K als h_K: Es ist die Ordnung der idealen Klassenmenge Cl(K) = FractionalIdeale(O_K) / PrincipalIdeale(O_K). Die Klassenzahl misst die Abweichung vom eindeutigen Faktorisierungsverhalten in O_K: h_K = 1 bedeutet, dass O_K eine eindeutige Faktorisierungsdomäne ist. Für quadratische Körper K = Q(√d) wird oft h_K als h(d) geschrieben. Die Klassenzahl hängt eng mit der Struktur der units und mit L-Funktionen zusammen; eine analytische Klassenformel verbindet h_K mit Regulator, der Anzahl der Wurzeln der Einheit und dem Wert der entsprechenden zeta-Funktion.

In der klassischen Theorie der binären quadratischen Formen zählt man die äquivalenten Klassen primitiver Formen mit gegebenem Diskriminanten D. Die Zahl der proper-äquivalenten Klassen h(D) entspricht der Klassenzahl des zugehörigen Zahlkörpers. Für negatives D liefert h(D) die Anzahl der Formenklassen, die mit dem Ring der ganzen Zahlen in Zusammenhang stehen. Gauss' Klassenproblem und die Verbindung zur Struktur der Ideal- bzw. Formklasse gehören zu den fundamentalen Themen der Theorie.

Historisch spielen außerdem die analytische Klassenformel und konkrete Berechnungen eine zentrale Rolle, etwa bei der Bestimmung von h_K, der Untersuchung der Grenzverhalten und der Frage, wann Felder mit bestimmten Klassenzahlen auftreten.